• 關(guān)鍵詞：                                                                拉格朗日插值公式                                                                水位與流量                                                                庫容換算

• 摘要：平升公司目前采用的是水文觀測數(shù)據(jù)最主流的算法: 一元三點拉格朗日插值公式，將實測數(shù)據(jù)以外的節(jié)點用已知點進行插值。插值計算時，是選取最靠近插值點的3個節(jié)點代入公式，因此對于一條曲線就有多個插值公式，采用分段插值的方法，將該曲線使用范圍內(nèi)的每一組對應(yīng)值插算出來。

《榆林市水位視頻監(jiān)控綜合管理軟件》目前已通過榆林市水務(wù)局的初步驗收。平升公司根據(jù)榆林市水務(wù)局的項目建設(shè)要求，完成了水位、流量、庫容數(shù)據(jù)的采集運算與視頻圖像的整合。

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本案例中主要對一元三點拉格朗日插值公式在水位與流量、庫容換算中的應(yīng)用做一下介紹，分享一下平升公司應(yīng)用此公式的一些心得。

一般水文工作者習(xí)慣通過現(xiàn)場測量一組水位對應(yīng)的流量數(shù)據(jù)，以此來推導(dǎo)出近似的水位和流量的曲線（函數(shù)），這樣在曲線上的任何一個水位值（X）都會有一個對應(yīng)的流量值（Y），這就是我們經(jīng)常說的水位流量關(guān)系曲線。但是這個曲線多是非線性、不規(guī)則的，用這樣的曲線計算出來的數(shù)據(jù)誤差會非常大。

而平升公司目前采用的是水文觀測數(shù)據(jù)最主流的算法: 一元三點拉格朗日插值公式，將實測數(shù)據(jù)以外的節(jié)點用已知點進行插值。插值計算時，是選取最靠近插值點的3個節(jié)點代入公式，因此對于一條曲線就有多個插值公式，采用分段插值的方法，將該曲線使用范圍內(nèi)的每一組對應(yīng)值插算出來。

選取節(jié)點應(yīng)按從小到大順序選取，曲線的兩個端點必須選入，其間可隨曲線曲率變化而定，端點附近與曲率變化較大處選密一些，反之可選稀一些，選取節(jié)點數(shù)量應(yīng)滿足計算精度的要求且等差為佳，節(jié)點不得少于3個。

數(shù)學(xué)公式推演

任給定F中2n+2個數(shù)x₁，x₂，…，x_n+1，y₁，y₂，…，y_n+1，其中x₁，x₂，…x_n+1互不相同，則存在唯一的次數(shù)不超過n的多項式p_n(x)，滿足p_n(x_i)=y₁(i=1，2，…，n+1)，這里：

叫做拉格朗日插值公式。

公式的幾何解釋是：存在唯一的次數(shù)不超過n的拋物線

通過平面上的給出的n+1個點M₁(x_1，y₁)，M₂(x₂，y₂)，…，M_n+1(x_n+1，y_n+1)。

如對于自變數(shù)的兩個值，給出了線性函數(shù)的(n=1)對應(yīng)值，這線性函數(shù)就被確定。從幾何方面說，直線由其兩點確定，即：

總結(jié)

平升公司為了方便客戶添加水位與流量或者庫容的數(shù)組數(shù)據(jù)，把水位數(shù)據(jù)做成一個集合，流量（庫容）數(shù)據(jù)做成一個集合，數(shù)據(jù)之間通過“&”區(qū)分，在保證數(shù)據(jù)測算準(zhǔn)確的前提下，給客戶提供更簡單方便的輸入方式，目前軟件系統(tǒng)已經(jīng)正式應(yīng)用于榆林市防汛抗旱項目中，受到領(lǐng)導(dǎo)和工作人員的一致好評。